L’île mystérieuse est un roman écrit en 1874 qui relate les aventures de cinq personnages : l’ingénieur Cyrus Smith, son domestique Nab, le journaliste Gédéon Spilett, le marin Pencroff et le jeune Harbert qui après avoir fui en ballon le quartier général Richmond ou ils étaient retenus prisonniers s’échouent sur une île déserte au large de la Nouvelle Zélande.
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| L'ïle mystérieuse illustrée par Jules Férat (1873) |
A. Enoncé de l'extrait
Dans cet extrait, Cyrus Smith tente de mesurer la hauteur d’une muraille éloignée en mettant en place un dispositif particulier.
« Cyrus Smith s’était muni d’une sorte de perche droite, longue d’une douzaine de pieds, qu’il avait mesurée aussi exactement que possible, en la comparant à sa propre taille, dont il connaissait la hauteur à une ligne près. Harbert portait un fil à plomb que lui avait remis Cyrus Smith, c’est-à-dire une simple pierre fixée au bout d’une fibre flexible.
Arrivé à une vingtaine de pieds de la lisière de la grève, et à cinq cents pieds environ de la muraille de granit, qui se dressait perpendiculairement, Cyrus Smith enfonça la perche de deux pieds dans le sable, et, en la calant avec soin, il parvint, au moyen du fil à plomb, à la dresser perpendiculairement au plan de l’horizon.
Cela fait, il se recula de la distance nécessaire pour que, étant couché sur le sable, le rayon visuel, parti de son œil, effleurât à la fois et l’extrémité de la perche et la crête de la muraille. Puis il marqua soigneusement ce point avec un piquet. »
[…] « Je viens de construire deux triangles semblables, tous deux rectangles : le premier, le plus petit, a pour côtés la perche perpendiculaire, la distance qui sépare le piquet du bas de la perche, et mon rayon visuel pour hypoténuse ; le second a pour côtés la muraille perpendiculaire, dont il s’agit de mesurer la hauteur, la distance qui sépare le piquet du bas de cette muraille, et mon rayon visuel formant également son hypoténuse, — qui se trouve être la prolongation de celle du premier triangle. »
[…] « Quand nous aurons mesuré les deux premières distances, connaissant la hauteur de la perche, nous n’aurons plus qu’un calcul de proportion à faire, ce qui nous donnera la hauteur de la muraille et nous évitera la peine de la mesurer directement.
Les deux distances horizontales furent relevées, au moyen même de la perche, dont la longueur au-dessus du sable était exactement de dix pieds.
La première distance était de quinze pieds entre le piquet et le point où la perche était enfoncée dans le sable.
La deuxième distance, entre le piquet et la base de la muraille, était de cinq cents pieds. »
« 15 : 500 = 10 : x |
500 × 10 = 5000 |
5000 |
――― |
15 = 333,33. |
D’où il fut établi que la muraille de granit mesurait trois cent trente-trois pieds de hauteur. »
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| Adaptations cinématographiques de l'île mystérieuse |
B.Théorème de Thalès
Ici, pour calculer la hauteur de la muraille les deux hommes, n'ayant pas d'instruments de mesure utilisent le théorème de Thalès.
C. Vérification des calculs
Nous avons suivi la réflexion de Cyrus Smith et tenté avec les données du livre, de schématiser son dispositif et d'en déduire des calculs suivant les théorème de Thales.
Données
- La perche utilisée mesure 10 pieds (= 3 métre)
- La distance entre le piquet et la perche est de 15 pieds (= 4,5 métres)
- La distance entre le piquet et la muraille est de 500 pieds (= 150 métres)
Schèma
AE = 15 pieds
AD = 500 pieds
BE = 10 pieds
Nous allons appliquer le théorème de Thales afin de trouver la mesure de CD.
Ainsi, d'après le théorème de Thales, on obtient les relations suivantes:
Donc
D. Conclusion
La muraille mesure 333,33 pieds, soit 100 mètres, ce qui correspond aux résultats de Cyrus Smith.
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